cara membuktikan bilangan irasional.

Bukti bahwa akar 2 adalah bilangan irasional ! 

PEMBUKTIAN :
Disini, kita akan membuktikan ke-irasionalan akar 2 dengan 3 cara , yaitu :

CARA PERTAMAAndaikan akar 2 adalah bilangan rasional. Berarti akar 2 dapat disajikan dalam bentuk pecahan, yaitu:Dengan a dan b adalah bilangan bulat serta b tidak sama dengan 0. Tanpa mengurangi keumuman bukti, andaikan bahwa a dan b saling prima atau faktor persekutuan terbesarnya adalah 1. Sehingga berlaku :Berarti "a kuadrat adalah bilangan genap, akibatnya a juga genap. Karena a genap berarti b ganjil, sebab a dan b saling prima. Berarti a dapat disajikan dalam bentuka = 2kUntuk suatu k bilangan bulat. Berarti belakuDidapatkan "b kuadrat" genap, sehingga b juga genap. Terdapat KONTRADIKSI dengan hasil b ganjil pada pernyataan sebelumnya. Berarti pengandaian akar 2 adalah bilangan rasional SALAH atau haruslah akar dua bilangan irasional.
CARA KEDUAPada cara yang kedua ini kita tetap menggunakan metode pembukian secara kontradiksi, namun berbeda dari cara sebelumnya, disini kita andaikan akar dua dapat dituliskan dalam bentuk desimal yang terbagi dalam dua kasus. Lebih jelasnya sebagai berikut :KASUS 1Andaikan dapat dinyatakan dalam bentuk desimal, misal akar 2 = 1,abc . a , b dan c adalah bilangan bulat nonnegatif dengan c tidak sama dengan 0. Kalikan kedua ruas dengan 1000 kemudian kuadratkan, proses selengkapnya sebagai berikut :